El astrolabio lineal de al-Tusí

El curioso astrolabio lineal de al-Tusi es fácil de construir y no tanto de usar con precisión por los equilibrios que deben hacerse. Quizá su mayor interés radique en lo ingenioso. Históricamente fue una solución sencilla y barata.

El astrolabio planisferio más habitual utiliza una proyección estereográfica desde el polo sur sobre el plano del ecuador celeste. La proyección convierte cada circunferencia en otra circunferencia o en una recta (si el polo pertenece a la propia circunferencia).

El astrolabio lineal se reduce a representar la intersección del plano meridiano con el ecuador: solo la proyección del meridiano del planisferio convencional.

El esquema básico tiene cuatro escalas: escala de cuerdas, declinaciones solares, centro de cada almicantarat y punto de corte del almicantarat con la proyección del meridiano. Las dos primeras escalas son universales mientras que las otras dos varían y deben calcularse para cada latitud.

Lo ingenioso consiste en que todas las circunferencias que tengan centro en la línea y radio conocido pueden representarse con un hilo o soga. Tenemos radio y centro de los almicantarates y el radio de la circunferencia de declinación solar (zodiaco).

La intersección del almicantarat y la declinación nos ofrece la altura del astro. Lo que no ofrece el instrumento es el acimut.

La escala de cuerdas tiene doble uso: determinación de la altura del astro (la alidada es el propio astrolabio lineal) y medir el ángulo horario.

Las tres operaciones sencillas posibles son: 1) Altura del astro, enfocando (sombra) al astro y medir el ángulo con la plomada y la escala de cuerdas; 2) Duración del orto al ocaso; 3) Conocer la hora a partir de la altura medida.

He construido el astrolabio para la latitud 36,9º N, donde vivo. He usado cilindro de madera de 2 cm de diámetro pero casi es mejor sobre cilindro de cartón (como el de papel de aluminio).

Conocí el astrolabio de al-Tusi por el artículo de Henri Michel en francés (primer enlace) y se extiende un poco más el segundo enlace en inglés.

https://adsabs.harvard.edu/full/1943C%26T….59..101M

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Los imaginarios son reales

El matemático platónico Roger Penrose está consiguiendo uno de sus objetivos: la demostración de la realidad de los números complejos. La lectura de El camino a la realidad nos convencía de la necesidad de enseñar los números complejos aunque se hubieran caído de las pruebas de Selectividad.

Un reciente artículo de Karmela Padavic-Callaghan (https://aeon.co/essays/how-imaginary-numbers-describe-the-fundamental-shape-of-nature) nos pone al día de los últimos experimentos que muestran que los imaginarios son mucho más que un mero artificio (¡muy práctico!) de cálculo. No es solo formalismo, es un componente básico de la realidad tanto como el carácter probabilístico de la cuántica que tanto molestaba a Einstein.

Se acompaña la traducción del artículo al español en gran formato para un libro electrónico.

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La dura diatriba de Arnold contra «la matemática escolástica»

Fue en 1997 y en la “boca del lobo”- en el Palais de Découverte de París – donde Vladímir Ígorevich Arnold (1937- 2010) impartió la conferencia Sobre la enseñanza de las matemáticas.

Había pasado un cuarto de siglo desde el delicioso alegato ¿Por qué Juanito no sabe sumar? El fracaso de la matemática moderna. (1973) realizado por Morris Kline contra la reforma de la enseñanza y el aprendizaje conjuntista “moderno” de las matemáticas escolares. El desastre fue tal que todavía en 1997 no se habían apagado las brasas de tan sonoro fracaso.

Arnold, como Kline, aspira a un aprendizaje de las matemáticas pegado al terreno que contribuya a percibir la belleza y utilidad de la disciplina. La conferencia empieza con una boutade provocadora: la matemática es una parte de la física.

Con sarcástica ironía Arnold nos advierte de que si enseñamos a odiar las matemáticas puede que alguno de nuestros alumnos llegue a ministro de educación. 

El desastre de la reforma “bourbakista” fue corregido con rapidez pero dejó una victima que no se ha recuperado: la geometría.

Mi opinión personal: el movimiento por reformar la educación matemática era necesario pero fue tanto prematuro como en sentido opuesto. El resultado ha impedido acometer los cambios que requiere una educación matemática para todos en la sociedad de la información. Arnold anticipa algunas ideas.

Me he permitido traducir tan estimulante conferencia:

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El ácido γ-aminobutírico y la matemática

El ácido γ-aminobutírico o ácido gamma-aminobutírico (C₄H₉NO₂), conocido como GABA es un neurotransmisor del sistema nervioso central. 

Nunca he usado el manido argumento de que la matemática contribuye de forma fundamental al desarrollo del pensamiento racional. Lo he considerado una justificación desgastada y no convincente para los adolescentes. He disfrutado tanto con la matemática que siempre he preferido insistir en todo lo que dejaremos de disfrutar, en todo lo que nos perderemos sin matemáticas. He llamado a algunas charlas “Verdad, belleza y libertad”. Libertad es en democracia poder discernir entre tanta información lo relevante: calculemos decía Leibniz.

Quizá tenga que cambiar mi argumentarlo si el estudio recientemente publicado es confirmado por otros:

 “Las matemáticas habían contribuido a la maduración del cerebro, para que este pudiera enfrentarse al mundo real de forma racional.

Así concluye un estudio, publicado en tiempo reciente por la revista Proceedings of the National Academy of Sciences, en el que participaron 87 estudiantes de Reino Unido, de entre 16 y 18 años. El objetivo era dilucidar si la educación matemática antes del bachillerato inducía cambios en el cerebro. De forma sorprendente, los investigadores hallaron que la concentración del neurotransmisor GABA permite conocer, casi con un 90 por ciento de fiabilidad, si un alumno ha cursado, o no, estudios de matemáticas. Además, los niveles de base del neurotransmisor no influyeron en dicha relación. Es decir, el aumento de GABA aparecía tras estudiar matemáticas, ya que los investigadores no hallaron diferencias entre los grupos antes de elegir la materia.”

La noticia tal como ha sido publicado en castellano:

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Alan Mathison Turing vindicado en billete

En palabras de la Wikipedia: Alan Turing fue un matemático, lógico, informático teórico, criptógrafo, filósofo, biólogo teórico, maratoniano y corredor de ultradistancia británico.

Turing murió en 1954 tras ser condenado en 1952 por una relación homosexual que dejó de ser delito al poco tiempo. La muerte está envuelta en misterio:¿suicidio o error en la medicación?. Para librarse de la cárcel se vio sometido a un tipo de castración química que alimentó la idea de su malestar.

Hasta el 2013 el matemático no fue exonerado por la Reina. En 2022 circularán los billetes de 50 libras.

Desde la condena a su fallecimiento, el matemático realizó aportaciones importantes a la biología matemática: mientras su cuerpo era sometido a medicamentos contra natura, su mente no paraba de crear.

Quien hubo prestado tantos servicios durante la segunda guerra mundial con el descifrado de “Enigma” sufrió el ataque de una sociedad hipócritamente puritana. ¡Sea el billete bienvenido si sirviera para abrir las mentes!

Todobarro: Modernizando la azulejería andalusí

El difícil arte de la supervivencia económica de las empresas requiere ingenio para personalizar productos atractivos. Navegar entre tradición y modernidad, o entre artesanía y producción en serie, es lo que llevó a William Morris a ser el paladín de una modernidad de lo bello.

Hace pocas semanas leímos un artículo sobre la empresa malagueña Todobarro y sus diseños de azulejos. La utilización de fragmentos, o azulejos descuartizados, pueden recordar el arte del alicatado, tan característico de la decoración arábiga y consistente en la fragmentación de azulejos vidriados con alicates.

La prensa mostraba tres tipos de diseños: uno convencional azul y blanco montado en una cervecería madrileña, otro de 8 piezas para formar cuadrados y un tercero de cinco con formas circulares.

Estudiaremos dos de ellos. Uno va a ser el convencional bicolor por sus posibilidades combinatorias pues con él se pueden reproducir 12 de los 17 grupos de simetría para teselar el plano de forma periódica. Mostramos en el descargable algunas de las composiciones de esos doce grupos. Las simetrías son idénticas a las del azulejo de Truchet (cartabón para los ceramistas).

En la cervecería se utiliza una disposición pmg: giros de 180º (centros en rayitas), ejes de simetría (líneas de color amarillo) y ejes deslizantes (líneas de color verde). El cuadrado rojo es la celda que se repite.

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El otro que estudiamos es el constituye combinando ocho piezas, cuatro formas diferentes, dos trapecios y dos triángulos, vidriado en blanco y sin vitrificar, pues sus posibles combinaciones crecen de forma singular: en 6 m² ya se pueden hacer mas combinaciones que átomos tiene el universo. Las cuatro formas constituyen un cuadrado, como hay dos colores tendremos 64 posibles cuadrados que a su vez pueden girarse hasta presentarse en 256 posibilidades.

La asimetría del descuartizado hace que solo puedan construirse tres grupos de teselaciones periódicas, las que admite cualquier azulejo cuadrado: grupos p1, p2 y p4. Vemos que la belleza puede mejorar con ciertas rupturas de la simetría.

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Se adjuntan algunos estudios relacionados.

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“Mathematikós” Selección de Antoine Houlou-Garcia

Mathematikós – Vida y hallazgos de los matemáticos de Grecia y Roma (Alianza Editorial. Madrid. 2021) es una selección de más de cien textos originales realizada por Antoine Houlou-Garcia.

La obra es muy recomendable. El recopilador nos adentra en la matemática clásica dando la voz al pensamiento tal como se expresó en la antigüedad. Durante dos milenios se estuvo aprendiendo geometría con Euclides. Ese tiempo pasó y ahora su forma de razonar ya no está tan presente.

La selección no se limita a los matemáticos más reconocidos como Euclides, Arquímedes, Pappo o Diofanto, también los considerados más filósofos como Platón o Aristóteles se ocupaban de una materia tan vinculada al pensamiento.

Figuras de primera fila y secundarios comparten espacio con comentaristas, o con epígonos como Boecio o Capella. Las matemáticas griegas están representadas con un hermoso texto de Teano, con Hipatia y con la comentarista Pánfila.

No abundan las demostraciones para ajustar el texto a un tamaño razonable. Para quien disfrute con ellas me remito a la apoteosis final de la resolución del problema délico (duplicación del cubo) por Diocles mediante intersección de parábolas.

Consideramos que estamos ante una excelente introducción al pensamiento matemático cuando se constituye en ciencia.

Contra lujuria, matemáticas

Las Tablas de la Ley que Moisés recibió en el Sinaí se limitaban a reflejar los preceptos en una escueta frase por razones de espacio. Así el sexto mandamiento solo pregona la pureza pero no prescribe cómo debe cumplirse. Más tarde se acuña la expresión que contrapone virtud y pecado: contra lujuria, castidad. Sigue pareciendo poco concreto y no demasiado útil.

Más preciso resulta el remedio del doctor Krokovski, medico jefe del hospital antituberculoso, descrito por Thomas Mann en La montaña mágica (1942):

Cuanto más expansiva es esa banda de agonizantes más libertina es. Yo preconizo las matemáticas. Ocuparse de matemáticas, digo, es el mejor remedio contra la concupiscencia. El procurador Paravant, que ha sufrido grandes tentaciones, se lanzó a las matemáticas y ha llegado hasta la cuadratura del círculo, y eso le ha tranquilizado mucho.

¡Un medico sí sabe que una pasión se combate con otra igual de potente!

También algunos matemáticos han aplicado la resolución de problemas a casos de lujuria, así San Beda el Venerable (siglo IX) en su Otras propuestas para iniciar la agudeza de los jóvenes plantea uno de los problemas clásicos de cruzar un río en una barca pequeña:

Eranse tres hombres con sus respectivas esposas quienes un río debían atravesar. Cada uno de ellos era de lujuria dominado ante la sola proximidad de alguna mujer. Llegando al río no encontraron más barca que una pequeña donde solo dos personas cabían. Diga quien pueda cómo atravesarían el río para conservar inmaculadas a todas y cada una.

La colección de problemas se atribuye también a Alcuino de York, el maestro de la Escuela Carolingia. El mismo ejercicio para evitar el pecado aparece en los Problèmes plaisants de Claude Gaspard Bachet de Méziriac (1581-1638), en una versión donde los lúbricos machos se transforman en celosos maridos. El texto de Bachet es el que Fourrey reproduce en sus Recréations arithmétiques.

En todo caso, hay que tener cuidado pues el remedio puede convertirse en enfermedad, como bien advierte por carta Farkas Bolyai a su hijo János (1802- 1860):

Por amor de Dios, te lo ruego, olvídalo [el estudio matemático]. Témelo como a las pasiones sensuales, porque lo mismo que ellas, puede llegar a absorber todo tu tiempo y privarte de tu salud, de la paz de espíritu y de la felicidad en la vida (…) Yo he atravesado esta noche sin fondo, que extinguió toda la luz y la alegría en mi vida. Aprende de mi ejemplo.

¡Las matemáticas pueden valer como remedio… ¡con prescripción facultativa!

El compás logarítmico

Las computadoras han elevado a tal punto nuestra capacidad de cálculo que en pocos años han hecho desaparecer siglos de laborioso ingenio para facilitar penosas operaciones.

Los logaritmos multiplicaron la vida de los astrónomos, decía Laplace. Con logaritmos se podía extraer una raíz séptima sin esfuerzo o una complicada expresión trigonométrica. Pero los logaritmos tienen un problema, el logaritmo de una suma (que no la suma de logaritmos) obstaculizaba los cálculos. No era grave con números pero si en las ecuaciones algebraicas.

El cálculo grafico fue una poderosa herramienta para ingenieros. Y como auxiliar del cálculo se desarrollaron maravillosos instrumentos específicos. Presentamos uno de ellos, el compás logaritmico que llegó a comercializar la fabrica Richter a inicios del siglo XX.

Éste compás de tres patas es una cosa exótica, que vive clandestinamente en estanterías de los departamentos de matemáticas de las universidades de Gotinga o Halle.

Llevados por el gusto, y la deuda con estas maravillas, hemos traducido un artículo que explica su origen y funcionamiento.

Descarga: El compás logarítmico

Armas de destrucción matemática

Armas de destrucción matemática es la versión en castellano del libro Weapons of Math Destruction (2017) de Cathy O´Neil, doctora en Matemáticas por Harvard.

Empezamos por el título, la traducción literal pierde parte del efecto que busca la autora, que esel paralelismo con armas de destrucción masiva (Weapons of Mass Destruction). En español nos sonaría mejor Armas matemáticas de destrucción, que es de lo que va.

Todo avance científico-técnico es de doble uso: sirve para liberar a la humanidad o para someterla. Que se utilice para el bien común depende de autores que, como Cathy, denuncien la aplicación de los big data para hundir más a los ya desfavorecidos o para  cometer injusticias.

Desenterramos la bitácora que teníamos abandonada para comentar una obra necesaria, por sus muchos ejemplos de bucles nocivos que condenan a muchas personas pero con una lectura esperanzadora si no renunciamos a nuestra responsabilidad.

En las conclusiones, la autora recuerda como la revolución industrial empezó con jornadas agotadoras, miseria, hacinamiento, insalubridad o trabajo infantil; es necesario que las nuevas tecnologías de la información, que podían ser liberadoras, no se usen perniciosamente.

Para el profesorado, resulta singular por su interés el brillante desmontaje de la calificación de los enseñantes por una aplicación basada en el manejo masivo de datos.

Final de la obra: Si nos retiramos y tratamos los modelos matemáticos como si fueran una fuerza neutra e inevitable,…, estaremos renunciando a nuestra responsabilidad. …Las matemáticas se merecen mucho más que las ADM, y la democracia también.