Un problema más interesante de lo que parecía

En el Concurso que organiza TutorMates, para alumnos de 2º ESO se presentó en Abril el siguiente problema:
Un fabricante hace bloques de foam en tamaños llamados B0, B1, B2, etc., que son todos los bloques rectangulares similares. Para cualquier valor de n, se obtienen dos bloques B(n + 1) al cortar un bloque Bn por la mitad. Si un bloque de tamaño B0 tiene un volumen de un metro cúbico. ¿Cuáles son las dimensiones de un bloque de tamaño B6, al milímetro más cercano? ¿Cuál es la proporción de los 3 lados de cada uno?

A los compañeros del mi antiguo departamento –conocedores de mi afición- les parecía poco apropiado para segundo de secundaria y recabaron mi opinión.

Como estaba de viaje me límite a resolverlo, algo que hice con premura pues la intuición de que se trataba de la extensión tridimensional de las dimensiones DIN del papel resultó cierta.

Si en el papel la relación la duplicación de superficie se traduce en una relación de lados de raíz de 2, en el espacio la relación de aristas por analogía sería raíz cúbica de 2. Verificando la conjetura se comprueba que es la solución correcta para la proporción de las aristas.

Así la respuesta al problema es:

(La solución se presenta sin racionalizar para hacer más vidente la relación)

Respecto a si es un ejercicio de segundo: una cosa es la utilización de la raíz cuadrada y otra el trabajo con radicales que se realiza en cuarto. No es apropiado si nos atenemos al currículo, si bien algún alumn@ muy brillante podría deducirlo por generalización.

Un asunto llamativo es el enunciado confuso: se dice bloques rectangulares cuando quiere decir ortoedrico y se habla de lados en lugar de aristas. A veces exigimos el rigor que no empleamos.

Interés histórico del problema: el altar de Apolo en Delfos

La formalización del problema nos pone de manifiesto que tiene mucho interés, es especial, si lo situamos en relación con uno de los tres problemas griegos: el problema del santuario de Delfos: la duplicación del altar cúbico de Apolo. Problema que abordaron una y otra vez y que no es resoluble con regla y compás como demostró  Pierre Wantzel en 1837.

En efecto la resolución formal del problema de los bloques nos lleva a una relación conocida:

Las condiciones del problema exigen que:

La solución paramétrica de de la ecuación (*) es:

Aplicando la condición   se obtiene la solución particular escrita más arriba.

Al escribir la proporción (*) se puede ver que es exactamente la relación que usó Hipócrates de Quíos para reducir el problema y que permite una construcción neúsis que da respuesta al Problema Délico. Eso sí, sin regla y compás, en cambio si se puede hacer doblando papel, algo muy apropiado para la ESO.

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Acerca de angelrequena

Profesor jubilado de matemáticas
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